Глен Уитни для Музея математики
Математические понедельники до сих пор представляли собой широкий спектр различных предметов, из которых можно составить огромное количество разнообразных геометрических конструкций, но на обручах еще не было ни одной. На этой и следующей неделе мы исправим эту оплошность. Кроме того, в публикациях до сих пор конструкции почти полностью были показаны как свершившийся факт, поэтому эта серия также попытается дать некоторое представление о процессе разработки нового творения.
Во-первых, зачем обручи? Это довольно дешевый источник больших готовых кругов, обычно достаточно симметричных и прочных. Таким образом, они являются кандидатами на любой крупномасштабный строительный проект, основанный на геометрии круга. Каковы примеры? Что ж, вы можете представить каждый круг как большой круг на сфере и спросить: есть ли способ расположить четыре из них так, чтобы каждая точка пересечения больших кругов была на равном расстоянии от ближайших соседей? Это приводит к примерно такой приятной конструкции:
Задание: сможешь ли ты сделать то же самое с шестью обручами?
Для недавнего мероприятия MoMath хотела организовать крупномасштабное общественное строительство, поэтому, основываясь на нашем успехе с обручами на сегодняшний день, дизайнер Тим Ниссен придумал гигантскую пирамиду из обручей - вот первоначальная концепция:
Обручей много, поэтому мы решили попробовать тетраэдр Серпинского вместо цельной пирамиды, который, по крайней мере, не менее крут с математической точки зрения и требует значительно меньше материала. (Интересно подумать, насколько меньше) Все хорошие строительные мероприятия требуют репетиции, поэтому группа людей собралась вместе, чтобы попробовать связать обручи в воскресенье днем.
Первоначальное соединение четырех обручей в своего рода усеченный тетраэдр прошло хорошо, а также объединение четырех из них в тетраэдр Серпинского первого порядка, как вы можете видеть на следующей фотографии. Интересно отметить, что когда вы присоединяете четыре сплошных тетраэдра по вершинам, чтобы создать тетраэдр Серпинского первого порядка, оставшаяся полость имеет другую форму (какую форму?) - тогда как в этой конструкции, основанной на кругах, центральная пустота идентична четыре единицы, которые были объединены.
Нам даже удалось довольно удачно объединить четыре единицы порядка 1 в тетраэдр второго порядка:
Обратите внимание, что на следующем этапе тетраэдры 2-го порядка были слишком высокими, чтобы мы могли разместить один непосредственно поверх трёх, поэтому мы планировали поместить этот 2-й порядок поверх трёх тетраэдров 1-го порядка, по одному в каждом углу, и затем поднимите всю эту структуру на три «основания», каждое из которых образовано тремя тетраэдрами первого порядка. Однако так далеко мы так и не зашли: когда мы закрепили тетраэдр 2-го порядка поверх трёх тетраэдров 1-го порядка, произошло вот что:
Полный структурный коллапс, ведущий к хаосу хула! Что делать?
Продолжение курса «Математический понедельник: геометрия обруча, часть II»